Cấp số cộng là dạng toán được áp dụng nhiều trong bài tập mà các bạn cần lưu tâm, vì vậy việc phải nhớ công thức cấp số cộng là điều bắt mà các em cần biết. Trong bài hoc hôm nay chúng ta cùng tìm hiểu cấp số cộng là gì? Cách tính cấp số cộng và các bài tập liên quan nhé!
Cấp số cộng là gì?
Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều sẽ là tổng của số hạng đứng trước nó với một số không đổi khác 0 được gọi là công sai.
Tính chất cấp số cộng
+ Un+1 – Un = Un+2 – Un+1
+ Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n
+ Số hạng tổng quát: Un = U1 + d(n−1)
+ Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu, ta có công thức:
Công thức cấp số cộng
1. Công thức tính tính công sai:
d = Un+1 – Un với n ∈ N*.
Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
2. Công thức tìm số hạng tổng quát:
Nếu cấp số cộng (Un) có số hạng đầu U1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
Un = U1 + (n – 1)d với n ∈ N*, n ≥ 2.
3. Tính chất của 3 số hạng uk-1, uk, uk+1 (k ≥ 2) liên tiếp của cấp số cộng:
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Cho cấp số cộng (Un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un. Khi đó
Bài tập cách tính cấp số cộng.
Bài 1: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: Un = 2n – 3.
a) Xác định công sai của cấp số cộng
b) Số 393 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.
c) Tính S = U1 + U3 + U5 + … + U2021
Lời giải
a) Ta có: Un + 1 = 2(n + 1) – 3 = 2n – 1
Công sai của cấp số cộng: d = Un+1 – Un = (2n – 1) – (2n – 3) = 2
b) Gọi số hạng thứ k của cấp số cộng là 393, ta có uk = 393.
Khi đó: 2k – 3 = 393. Suy ra k = 198.
Vậy số 393 là số hạng thứ 198 của cấp số cộng.
c) Ta có: U1 = 2 . 1 – 3 = – 1
Dãy số là (vn): U1; U3; U5; … U2021 là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 = – 1 và công sai d’ = u3 – u1 = 2d = 4
Dãy (vn) có: (2021 – 1) : 2 + 1 = 1011 số hạng
Bài 2: Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Tìm công sai của cấp số cộng:
Lời giải:
Cấp số cộng Un với số hạng tổng quát Un = U1 + d(n−1)
Với số hạng đầu U1 và công sai d
Từ đó ta có: U2 = U1 + d ⇔ 9 = 3 + d ⇔ d = 6
Vậy, công sai của cấp số cộng là 6.
Bài 3: Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?
Lời giải
Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6
Bài 4: Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.
Lời giải
Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
{(a−3x)+(a−x)+(a+x)+(a+3x)=20(a−3x)2+(a−x)2+(a+x)2+(a+3x)2=120⇔{4a=204a2+20×2=120⇔{a=5x=±1
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.
Tìm công sai d của cấp số cộng
Bài 5: Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Tìm công sai của cấp số cộng:
Lời giải:
Cấp số cộng Un với số hạng tổng quát Un = U1 + d(n−1)
Với số hạng đầu U1 và công sai d
Từ đó ta có: U2 = U1 + d ⇔ 9 = 3 + d ⇔ d = 6
Vậy, công sai của cấp số cộng là 6.
Như vậy trên đây là toàn bộ công thức cấp số cộng mà các bạn cần nhớ! Hi vọng với những bài tập về cách tính cấp số cộng như trên sẽ giúp ích nhiều hơn cho bạn hiểu hơn về cấp số cộng là gì?
Dấu hiệu chia hết cho 3, Các số chia hết cho 3 có ví dụ số nào chia hết cho 3.